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IL BERSAGLIO

Prendete un numero qualsiasi de “La Settimana Enigmistica”, apritelo alle pagine 28-29. A pagina 28, in alto a sinistra, trovate il gioco che dà il titolo a questo post. Bello avere delle certezze nella vita, tipo “Dopotutto, domani è un altro giorno!”. Ma, a parte questa profonda riflessione para-filosofica, che dire? O, meglio, cosa voglio dire?

Cominciamo con l’antefatto. Per ragioni familiari, mi sono ritrovato a casa un certo numero di “Settimane”, e ho provato a fare qualcuno dei giochi proposti (ho scoperto che mi piacciono le “cornici concentriche”), tra i quali “il bersaglio”. Riporto qui, intera, l’immagine di copertina:

All’antefatto si aggiunga una mia caratteristica: mi son guadagnato il pane facendo il matematico. E quindi ho un po’ di occhio allenato, e talvolta mi viene da pensare alla struttura matematica sottostante varie cose, tra cui anche… un giochino come questo.

Come funziona questo gioco? Viene data una parola di partenza ed una di arrivo e bisogna congiungerle passando attraverso tutte e sole le parole inserite nella figura (che è quella, appunto, di un bersaglio), toccando ciascuna usa sola volta, seguendo le regole date per passare da una parola ad un’altra.

Le regole sono le seguenti, prese da un numero della rivista:

1. La parola può essere un anagramma della parola che la precede.
2. Può essere un sinonimo o un contrario della parola precedente.
3. La si può ottenere aggiungendo o togliendo o cambiando una lettera della parola precedente.
4. Può trovarsi unita alla parola precedente in un detto, in una similitudine, in una metafora o per associazione d’idee.
5. Può formare, unita alla precedente, il nome di una persona celebre o di un luogo famoso reale o immaginario.
6. Può trovarsi associata alla parola nel titolo o nella trama di un libro, di un lavoro letterario o teatrale, oppure di altri componimenti celebri di qualsiasi genere.

Trovo interessante osservare la natura di queste regole. La prima e la terza sono, per così dire, “matematiche”, nel senso che c’è poco da discutere, e non serve a nulla conoscere il significato delle parole coinvolte! Per le altre regole, invece, il significato delle parole è essenziale, e per essere utilizzate in modo appropriato richiedono un minimo di cultura (e di padronanza della lingua): bisogna sapere che Alessandro si può associare con Magno, oppure ateo con credente. Tipicamente non è richiesto un livello culturale particolarmente elevato o, ancor meno, specialistico, in accordo con il carattere popolare della rivista e con la sua amplissima diffusione.

E matematicamente? Ovvio, si tratta di trovare una catena connessa che “ricopra” tutti i vertici del dato grafo non orientato.

Liberissimi di chiudere qui e passare ad altro, ma il post prosegue, cercando di rendere conto della ultima frase scritta.

Il contesto matematico più naturale per descrivere e studiare questo giochino è quello della teoria dei grafi. Cominciamo con “grafo non orientato”, limitandoci al caso finito. E’ dato un insieme (finito) di elementi, che chiamiamo “nodi” (o anche “vertici”). Alcune coppie di nodi sono collegate tra loro, e chiamiamo “lato” (o “spigolo”, o “arco”) questo collegamento. Nei grafi non orientati di cui stiamo parlando, il collegamento è “bilaterale”, nel senso che va in entrambe le direzioni (non abbiamo “sensi unici” o “frecce”).

Ecco un semplicissimo esempio di grafo:


i nodi sono indicati dai numeri 1,2,3,4 e i lati sono i segmenti disegnati.

Nel gioco del bersaglio, i nodi sono le parole elencate, ed il collegamento è dato dal soddisfare una delle regole elencate.

Per risolvere il bersaglio occorre trovare un percorso, un sentiero (nel linguaggio della teoria dei grafi, una catena) che congiunga le due parole date, quella d’inizio e quella di fine (nella figura che illustra questo post, sono: TRIALISTA e SCOLA), passando per ogni nodo. La soluzione c’è sempre (sta a chi propone il gioco “garantirlo”, e pare che siano rarissimi gli errori nella settimana enigmistica). Non solo, la soluzione è sempre unica. Più precisamente, il gioco è congegnato in modo che ogni parola sia collegata esattamente ad altre due (eccetto, naturalmente, il caso delle parole di partenza e fine, che sono collegate solo ad una).

Queste osservazioni, piuttosto sempliciotte, permettono di usare strategie risolutive che consentono di trovare la soluzione in modo un po’ più facile. Sono due:
– visto che il grafo non è orientato, si può provare a risolverlo sia partendo dal principio che… dalla fine. Sempre nel nostro esempio, si può tranquillamente provare a risalire da SCOLA a TRIALISTA. La soluzione è buona lo stesso 🙂
– si può cercare di risolvere il gioco “a pezzi e bocconi”. Si parte da una parola a caso, e si cercano i collegamenti che da questa si dipartono, andando avanti finché ci si riesce. Questa strategia ha il pregio di ridurre drasticamente quella che si usa chiamare “complessità computazionale” nella soluzione del gioco. Provare per credere!

Chiudo la parte matematica con una piccola annotazione da teoria dei grafi. Il sentiero (catena) che dà la soluzione del gioco ha due proprietà significative, nell’ambito di questa teoria: è un cammino euleriano ed è anche un cammino hamiltoniano!
Euleriano, perché utilizza ogni lato del grafo una ed una sola volta. Hamiltoniano perché fa la stessa cosa con i nodi del grafo. Intendiamoci, non è una gran scoperta (assomiglia a quella dell’acqua calda), data la struttura elementarissima del grafo che rappresenta il gioco.

A proposito di cammini euleriani, ci avete giocato anche voi, vero, da ragazzini? Beh, si tratta di trovare un cammino euleriano sul “grafo della busta”!

Ritornando al gioco vero e proprio, ho visto che “La Settimana Enigmistica” proprone anche varianti al classico gioco del bersaglio, che ad esempio presentano più percorsi, oppure hanno delle ramificazioni. Ma direi che ci possiamo fermare qui.

Chiosa finale: se qualcuno vuol far pratica con questo gioco, oltre a provare su “La Settimana Enigmistica” può curiosare qui: www.aenigmatica.it dove troverà il… bersaglio infinito!

PS (aggiunto il 25 febbraio 2017):
Stavo leggiucchiando un numero (vecchio, 2013) della Settimana Enigmistica, quando mi capita sotto gli occhi questo:

Come il cacio sui maccheroni! Qui abbiamo proprio un grafo non orientato, sbattuto lì. I nodi del grafo sono rappresentati dalle caselline rettangolari, mentre i lati sono dati dalle freccette bidirezionali che vanno da un rettangolino all’altro.

PPS (aggiunto il 20 marzo 2017):
Sempre da un vecchio numero della rivista, un altro esempio di grafo. In questo caso le “freccette” non sono indicate. Vanno trovate.

PPPS (aggiunto il 15 luglio 2017):
E qui, proprio spiattellato in modo esplicito, il problema di trovare un particolare percorso euleriano!

Copyright: la foto che presenta questo post è tratta da un numero de “La Settimana Enigmistica” (il n. 4222 del 23 febbraio 2013), che detiene i diritti sull’immagine, qui riprodotta a fini illustrativi. Stesso dicasi per le foto aggiunte in seguito qui sopra (n. 4224 del 9 marzo 2013, n. 4396 del 23 giugno 2016 e n. 4186 del 16 giugno 2012).

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