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DifendiAMO la cultura. Ma per davvero!

Ovvero, mirabolanti proprietà di pi greco che… chissà se le ha.

Recentemente sono intervenuto in merito ad un paio di articoli apparsi sulla versione on-line de “l’inchiostro fresco”, dedicati alle olimpiadi e ai giochi di matematica (e fisica). Nello scrivere quei commenti ero ben consapevole del rischio di mostrarmi pedante. Ma, conoscendo la materia e i personaggi coinvolti, semplicemente alcune inesattezze mi erano subito apparse evidenti. E quindi ho commentato gli articoli per precisare aspetti, certamente secondari rispetto al “focus” delle notizie, ma che potevano dare una idea più corretta del contesto in cui quei fatti avvengono.

Una cosa simile mi è capitata recentemente su facebook. Per via delle scelte imperscrutabili(*) di facebook, mi viene proposto all’attenzione il post di un mio amico che è semplicemente un link a un video. E’ un prof di mate che ha di fronte un’impresa che sembra disperata: suscitare un po’ di interesse per la sua materia da parte di una classe svogliata. Ci riesce con una descrizione appassionante dei decimali di pigreco.

Ovvio che nel video ci sono le solite esagerazioni (americanate, si diceva una volta): solo nei film o nei sogni (che poi non c’è molta differenza) succedono simili miracoli. Ma vabbé, è un registro espressivo cui ormai siamo assuefatti.

Quello che mi colpisce è il contenuto di ciò che il prof di mate dice:

Per capire cosa possa aver suscitato la mia curiosità, occorre tener presente che la mia professione è stata quella di matematico. E allora, così come un anziano contadino riconosce al volo se un fieno è di buona o cattiva qualità, la stessa cosa succede a me quando è coinvolta la matematica di base: “annuso” al volo se c’è qualcosa di strano in ciò che leggo o sento.

[Sulla lavagna sono scritte le prime cifre decimali di pigreco: 3,1415926535]

Il prof di mate dice (riferendosi a ciò che è scritto sulla lavagna):

…e questo è solo l’inizio. Potrebbe proseguire all’infinito, ma senza mai una sola ripetizione. E questo significa che dentro a questa serie di decimali è contenuto ogni altro singolo numero.

Ovvero dice che “dentro” l’allineamento decimale di pigreco sono contenuti “tutti i numeri”, tipo il vostro numero di telefono(**), il numero di conto in banca, quanti soldi avete sul conto adesso, il numero di voti che prenderà alle elezioni il nuovo Presidente degli USA, etc.

E’ vero quanto dice quel prof di mate? NO.
Non è vero quello che dice, perché questa proprietà di pigreco NON è stata mai dimostrata, finora. E’ solo una congettura, non è una verità matematica. E quindi, come per la congettura di Goldbach, non possiamo dire che sia vera(***). Stessa cosa valeva per il famoso “teorema di Fermat”, di cui non potevamo dire che fosse vero prima della dimostrazione di Wiles.
Non solo, la deduzione che fa è invece certamente FALSA. Dice infatti che la proprietà che le cifre decimali di un dato numero contengano ogni possibile numero (intero), è conseguenza del fatto che il numero non è periodico.

Vediamo i dettagli matematici della questione. Consideriamo tutti i numeri interi, ovvero, con linguaggio più sfizioso, tutte le stringhe finite di cifre decimali, tipo: 33333, 12432322340084749, 2016, 1000000000000000000000000000000800000000000, etc.

Domande:
– esistono numeri decimali tali che i loro allineamenti decimali contengano ogni possibile stringa finita di cifre?
– esistono numeri decimali illimitati tali che i loro allineamenti decimali non contengano ogni possibile stringa finita di cifre?
– esistono numeri decimali per i quali non si sa se i loro allineamenti decimali contengano ogni possibile stringa finita di cifre?

La risposta a tutte e tre le domande è (ad oggi) “sì”.

Facile fornire un esempio che risponde positivamente alla prima domanda. Basta prendere:
0,0123456789000102030405060708091012131415161718192021222324252627282930…
Come sia costruito questo numero forse è evidente: si prendono tutte le combinazioni possibili di 1, 2, 3, etc. cifre e si scrivono una dopo l’altra. E’ evidente che una qualunque stringa finita di cifre comparirà dentro a questo allineamento decimale illimitato.

Facile anche provare che la risposta alla seconda domanda è positiva. Qui basta:
0,11111111111111111111111111111111111111…
E’ evidente che la (breve) stringa finita che rappresenta il numero 2 non comparirà.
Troppo facile? Vogliamo modificare la questione, rendendo un po’ meno banale la risposta?
– esistono numeri decimali non periodici tali che i loro allineamenti decimali NON contengano ogni possibile stringa finita di cifre?
Niente mal di testa, anche qui è facile:
0,101001000100001000001000000100000001…
Lascio alla fantasia del lettore la prova che questo numero non è periodico.
Questo (semplice) esempio mostra che la deduzione fatta dal prof di mate è FALSA.

Terza domanda. L’esempio è proprio pigreco! A me non risulta che sia mai stato dimostrato che gode della proprietà in esame, né che non la soddisfa.

Quindi l’affermazione del prof di mate è SBAGLIATA, visto che dà per vera una cosa di cui non sappiamo affatto se sia vera (ad oggi). Oltre che essere sbagliata è per me fortemente diseducativa, visto che non siamo di fronte a un errore che può sempre capitare di fare: quella affermazione è l’architrave della lezione ed è quindi di valore decisivo per l’impostazione didattica. E questo è grave per un professore (di matematica ma anche di altra “materia”). Ho insegnato matematica per tanti anni, ma non mi è mai passato per la testa di spacciare per vere affermazioni delle quali non sapevo se fossero vere o meno. Ogni tanto facevo (appositamente) delle dimostrazioni o delle considerazioni sbagliate, al fine di concentrare l’attenzione degli studenti su qualche aspetto delicato, che si presta a fraintendimenti o ad errori. Ma naturalmente dicevo poi che c’era un errore voluto, e davo la versione corretta.

Ho scritto un post più lungo del solito. Un po’ anche perché per la disamina del video occorre entrare nel merito, in modo che sia evidente l’errore del prof di mate. E non sarebbe carino replicare a un video in cui c’è un uso ingannevole del “principio di autorità”, facendo io stesso riferimento allo stesso principio.

Mi domando quanti avranno avuto voglia di arrivare fino in fondo. Pochi, senz’altro. Ed è un segnale amaro, non certo per me o per questo post, ma per le sorti del pensiero critico.
Impressionante l’abuso dell’ignoranza da parte di una pagina il cui nome è DifendiAMO la cultura. Bel servizio che fa alla scienza (e alla cultura!).

Ma è ancor più impressionante l’effetto che ha il video citato: una accoglienza acritica e meravigliata, che porterà a una ulteriore diffusione di errori e alla valorizzazione di un metodo d’insegnamento che ritengo fortemente deleterio. Per fortuna, da questo ultimo punto di vista, forse l’impatto è meno tragico di quanto potrebbe astrattamente sembrare: il messaggio che sembra passare è quello che c’è un modo accattivante, affascinante di insegnare la matematica. Il che è vero, e fortunatamente può essere messo in pratica senza dover raccontar panzane.

(*)non è mica vero che siano tali, eh! Sto scherzando. Facebook prende molto sul serio l’algoritmo che sceglie quali commenti sottoporre all’attenzione dei vari utenti! E’ vitale per la sopravvivenza di questo network. Pensate un po’: io al momento ho 324 “amici” (nel senso di facebook). Se mi venissero segnalati in modo uniforme tutti i loro interventi su facebook, mi annoierei ben presto. Figuratevi chi ha migliaia di amici… Insomma, una selezione oculata è fondamentale per mantenere vivo l’interesse verso facebook

(**) Ad esempio, nel primo milione di cifre decimali di pigreco è contenuto il prefisso del mio numero telefonico, 320. E, anche, separatamente, le prime 4 cifre del mio numero. Non male come risultato, anche se abbastanza prevedibile. E ottenuto con POCHE cifre decimali: con un miliardo di miliardi di miliardi di cifre potrebbe andare meglio…

(***) Anche se c’è chi ritiene di averla dimostrata. Buona caccia all’errore!

 

 

 

Oggi è il pi greco day!

 

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2 commenti

  1. non è un prof di matematica .. a sua discolpa posso dire questo 🙂 .. se guardi la serie tv da cui è tratto il video ( person of interest) lui non è un prof di mate ma era lì per una missione sotto copertura

    • Fioravante Patrone

      Molte grazie per l’informazione. Ecco perché racconta soavemente delle baggianate! Capisco.

      Ciò non toglie che le reazioni che trovo su facebook sono in gran parte di ammirazione per questo “ottimo prof”.

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